坐标转换与向量单位化笔记

一、核心公式速查

1. 平面极坐标 ↔ 直角坐标

直角坐标 → 极坐标

• 长度： r = √(x² + y²)
• 角度： θ = atan2(y, x)

极坐标 → 直角坐标

• x = r * cos θ
• y = r * sin θ

2. 向量单位化

向量长度

• ||v|| = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)

单位向量

• u = v / ||v||

长度 × 方向向量形式

• v = ||v|| * u

3. 球坐标 → 三维直角坐标

约定：(r, θ, φ)

• r：径向距离
• θ：极角，从 +z 轴量起
• φ：方位角，从 +x 轴量起

转换公式：

• x = r * sin θ * cos φ
• y = r * sin θ * sin φ
• z = r * cos θ

二、例题整理

例1：直角坐标 (4, 4) → 极坐标

• 长度：r = √(4² + 4²) = √32 = 4√2
• 角度：θ = arctan(4/4) = arctan(1) = π/4

结果：(4√2, π/4) 或 (4√2, 45°)

例2：向量 [4, 4]ᵀ 的单位向量与“长度 × 方向向量”

向量：v = [4, 4]ᵀ

长度：||v|| = √(4² + 4²) = 4√2

单位向量：u = v / ||v|| = (1 / 4√2) * [4, 4]ᵀ = [1/√2, 1/√2]ᵀ

因此：
[4, 4]ᵀ = 4√2 * [1/√2, 1/√2]ᵀ

• 长度：4√2
• 单位方向向量：[1/√2, 1/√2]ᵀ

例3：向量 [1, 2, 2]ᵀ 的单位向量与“长度 × 方向向量”

向量：v = [1, 2, 2]ᵀ

长度：||v|| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3

单位向量：u = (1/3) * [1, 2, 2]ᵀ = [1/3, 2/3, 2/3]ᵀ

因此：
[1, 2, 2]ᵀ = 3 * [1/3, 2/3, 2/3]ᵀ

• 长度：3
• 单位方向向量：[1/3, 2/3, 2/3]ᵀ

例4：极坐标 (2, π/3) → 平面直角坐标

• x = 2 * cos(π/3) = 2 * (1/2) = 1
• y = 2 * sin(π/3) = 2 * (√3/2) = √3

结果：(1, √3)

例5：球坐标 (4, π/6, π/4) → 三维直角坐标

• x = 4 * sin(π/6) * cos(π/4) = 4 * (1/2) * (√2/2) = √2
• y = 4 * sin(π/6) * sin(π/4) = 4 * (1/2) * (√2/2) = √2
• z = 4 * cos(π/6) = 4 * (√3/2) = 2√3

结果：(√2, √2, 2√3)

三、坐标系示意图

图1：(4, 4) 的极坐标表示

y
↑
|          ● (4,4)
|         /|
|        / |
|       /  | 4
|      /   |
|     / θ=45°
|    /_____|______→ x
|   0      4

其中 r = 4√2，θ = π/4。

图2：极坐标 (2, π/3) 对应点 (1, √3)

y
↑
|        ● (1, √3)
|       /|
|      / |
|     /  | √3
|    /   |
|   /60° |
|  /_____|______→ x
| 0      1

其中 r = 2，θ = π/3。

图3：球坐标 (4, π/6, π/4) 的三维示意

          z
          ↑
          |         P(√2, √2, 2√3)
          |        ●
          |       /|
          |      / |
          |     /  | z = 2√3
          |    /   |
          |   /    |
          |  /     |
          | / θ    |
          |/       |
----------+--------|------→ y
         /         |
        /          |
       ↙ x         |
       φ 从 +x 轴到投影

说明：θ = π/6 从 +z 轴量起；φ = π/4 从 +x 轴量起。

四、易错点提醒

1. 极坐标角度不唯一：θ + 2kπ (k ∈ Z) 都表示同一方向。
2. 球坐标约定要统一：本笔记采用 (r, θ, φ)，其中 θ 为极角，φ 为方位角。不同教材可能相反。
3. 单位向量长度必须为 1：算完后可用 ||u|| = 1 检查。
4. “长度 × 方向向量”形式中，方向向量必须是单位向量。